欧拉公式

欧拉公式

前言

今天博主在b站上看完了一个视频。此视频介绍了欧拉从定义π\pi、以欧拉命名、伯努利发明的数eesinsincoscos以及eie^iee的泰勒展开式以及虚数ii
最近几天要学FFTFFT,这是一篇学习笔记希望能以新的角度审视数学,有错误的话,感谢评论里指出。

前置知识

幂法则

如果f(x)=xnf(x)=x^n,那么f(x)=nxn1f'(x)=nx^{n-1}

证明

新的函数值是f(x+dx)=(x+dx)n=(x+dx)(x+dx)(x+dx)(x+dx)f(x+\mathrm{d}x)=(x+\mathrm{d}x)^n=(x+\mathrm{d}x)(x+\mathrm{d}x)(x+\mathrm{d}x)\cdots(x+\mathrm{d}x)
可以由二项式定理得到

(x+dx)n=i=0n(in)xni(dx)i=(0n)xn+(1n)xn1dx+(2n)xn2(dx)2(x+\mathrm{d}x)^n=\sum^{n}_{i=0}\left(\begin{array}{c}i\\ n\end{array}\right)x^{n-i}(\mathrm{d}x)^i=\left(\begin{array}{c}0\\ n\end{array}\right)x^n+\left(\begin{array}{c}1\\ n\end{array}\right)x^{n-1}\mathrm{d}x+\left(\begin{array}{c}2\\ n\end{array}\right)x^{n-2}(\mathrm{d}x)^2\cdots

df=f(x+dx)f(x)=xn1dx+xn2(dx)2df=f(x+\mathrm{d}x)-f(x)=x^{n-1}\mathrm{d}x+x^{n-2}(\mathrm{d}x)^2\cdots

dfdx=xn1+n(n1)2xn2dx+n(n1)(n2)6xn2dx\frac{df}{dx}=x^{n-1}+\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}dx+\frac{n(n-1)(n-2)}{6}x^{n-2}dx\cdots

因为dxdx趋向00,所以可以忽略含有dxdx的项,dfdx=xn1\frac{df}{dx}=x^{n-1}

加法则

两个函数f(x)f(x)g(x)g(x),那么(f(x)+g(x))=f(x)+g(x)(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)

积法则

两个函数f(x)f(x)g(x)g(x),那么(f(x)g(x))=f(x)g(x)+f(x)g(x)(f(x)g(x))'=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)

证明

由于相乘想到面积来可视化过程,设一个矩形长宽分别为f(x)f(x)g(x)g(x),设h(x)=(f(x)g(x))h(x)=(f(x)g(x))'
如图所示:

显然增加的面积就是三块有颜色面积的小矩形,绿红黄他们的面积之和为:

f(x)d(g(x))+g(x)d(f(x))+d(f(x))d(g(x))=h(x)dxf(x)\mathrm{d}(g(x))+g(x)\mathrm{d}(f(x))+\mathrm{d}(f(x))\mathrm{d}(g(x))=h'(x)\mathrm{d}x\Rightarrow

f(x)g(x)dx+g(x)f(x)dx+g(x)dxf(x)dx=h(x)dxf(x)g'(x)\mathrm{d}x+g(x)f'(x)\mathrm{d}x+g'(x)\mathrm{d}xf'(x)\mathrm{d}x=h'(x)\mathrm{d}x

那么h(x)dx=f(x)g(x)+g(x)f(x)+g(x)f(x)dx\frac{h'(x)}{dx}=f(x)g'(x)+g(x)f'(x)+g'(x)f'(x)\mathrm{d}x
发现尾项与dx\mathrm{d}x有关,当dx\mathrm{d}x趋向00的时候可以忽略。

链式法则

两个函数f(x)f(x)g(x)g(x),那么f(g(x))=f(g(x))g(x)f'(g(x))=f'(g(x))g'(x),也就是dfdx=dfdgdgdx\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}g}\frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x}

证明

xx变化量为dxdx的时候,gg函数变化量是d(g(x))\mathrm{d}(g(x))
ff函数的变化量为:

d(f(g(x)))=f(g(x))d(g(x))=f(g(x))g(x)dxd(f(g(x))dx=f(g(x))g(x)\mathrm{d}(f(g(x)))=f'(g(x))\mathrm{d}(g(x))=f'(g(x))g'(x)\mathrm{d}x\Rightarrow \frac{\mathrm{d}(f(g(x))}{\mathrm{d}x}=f'(g(x))g'(x)

最后一步是由导数的定义得来的。

通过幂法则、链式法则推到商法则

三角函数的导数

sin(x)=cos(x)\sin'(x)=cos(x)
cos(x)=sin(x)\cos'(x)=-sin(x)

证明

高阶导数

f(n)(x)f^{(n)}(x)指的是f(x)f(x)nn阶导数。我自己的理解:描述f(x)f(x)的变化函数是f(x)f'(x),描述f(x)f'(x)的变化函数f(x)f''(x),也就是f(n)f^{(n)}的变化受到f(n+1)f^{(n+1)}的控制,如果控制f1f^1f2f^2···他们的函数都相等,那么"理论上"这两个函数是相等的。下面泰勒级数就用到这个思想。

拓展(无关本文)

指数函数求导

尝试求导

M(t)=2tM(t)=2^t

dMdt=2t+dt2tdt=2t(2dt1dt)dt0\frac{\mathrm{d}M}{\mathrm{d}t}=\frac{2^{t+\mathrm{d}t}-2^t}{\mathrm{d}t}=2^t\underbrace{(\frac{2^{\mathrm{d}t}-1}{\mathrm{d}t})}_{dt\to0}

2dt1dt\frac{2^{\mathrm{d}t}-1}{\mathrm{d}t}趋向于一个常数0.693147180560.69314718056\cdots
同样函数M(t)=3tM(t)=3^t同样的方法,后半部分将趋向于1.098612288671.09861228867\cdots
M(t)=8t2.07944154168M(t)=8^t\to 2.07944154168\cdots
1.09861228867×3=2.079441541681.09861228867\cdots{\times3}=2.07944154168\cdots
从指数上8=238=2^3,说明这个常数是对于对某个数求对数函数得到的。
有没有哪个底数能是的这个系数为11呢?
(at)=at(a^t)'=a^t

e的出现

这个底数就是e=2.71828e=2.71828\cdots

a^x的导数

由上面得到(ax)=axln(a)(a^x)'=a^x\ln(a)
d(ect)dt=cect\frac{d(e^{ct})}{\mathrm{d}t}=ce^{ct}cc是常数,由复合函数求导。
所有指数函数aa写作eln(2)e^{\ln(2)}
代入上式得到:ax=eln(a)ta^x=e^{\ln(a)t}

隐函数求导

圆的方程式x2+y2=rx^2+y^2=r,这很显然,如果我们要对它求导怎么办?此时输入一个xx不一定输出一个yy。很显然这个函数是可以求导的,也就是求(x,y)(x,y)这个坐标的斜率。

泰勒级数

由来

一个函数可以写成f(x)=i=0naixi=a0+a1x1+a2x2+f(x)=\sum^n_{i=0}{a_ix^i}=a_0+a_1x_1+a_2x_2+\cdots
在高阶导数的时候说过,如果两个函数每一阶导数都相等,那么"理论上"两个函数是相等的。
因为我们有cos(x)=sin(x)cos'(x)=-sin(x)cos(x)=cos(x)cos''(x)=-cos(x)cos(x)=sin(x)cos'''(x)=sin(x)cos(x)=cos(x)cos''''(x)=cos(x)
此后就是sin(x)-sin(x)cos(x)-cos(x)sin(x)sin(x)cos(x)cos(x)循环,求导次数xx,其xmod 4=1x \mod\ 4=1,22,33,00的时候分别对应这四个。
cos(0)=1f(x)=a0+i=1nai0=a0=1cos(0)=1\Rightarrow f(x)=a_0+\sum_{i=1}^n{a_i\cdot0}=a_0=1
cos(0)=0f(x)=1a1+i=2n(i1)ai0=1!a1=0cos'(0)=0\Rightarrow f'(x)=1\cdot a_1+\sum_{i=2}^n{(i-1)a_i\cdot0}=1!\cdot a_1=0
cos(0)=1f(x)=12a2+i=3n(i1)(i2)ai=2!a2=1\cos''(0)=-1\Rightarrow f''(x)=1\cdot2\cdot a_2+\sum_{i=3}^n{(i-1)\cdot(i-2)a_i}=2!\cdot a_2=-1
cos(0)=0f(x)=123a3+i=4n(i1)(i2)(i3)ai=3!a3=0cos'''(0)=0\Rightarrow f'''(x)=1\cdot2\cdot3 a_3+\sum_{i=4}^n{(i-1)\cdot(i-2)\cdot(i-3)a_i}=3!\cdot a_3=0
cos(0)=1f(x)=1234a4+i=5n(i1)(i2)(i3)(i4)ai=4!a4=1cos''''(0)=1\Rightarrow f''''(x)=1\cdot2\cdot3\cdot4 a_4+\sum_{i=5}^n{(i-1)\cdot(i-2)\cdot(i-3)\cdot(i-4)a_i}=4!\cdot a_4=1

可以发现规律了,假设取了ii次导数,且有i=2ni=2n

  • nn是奇数有:i!ai=1ai=1i!i!\cdot a_i=-1\Rightarrow a_i=-\frac{1}{i!}

  • nn是偶数有:i!ai=1ai=1i!i!\cdot a_i=1\Rightarrow a_i=\frac{1}{i!}

也就是cos(x)=1x22!+x44!x66!+x48!cos(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^4}{8!}-\cdots
同样的思路可以证明sin(x)=i=2n+1,nN(1)nxii!=xx33!+x55!x77!+\sin(x)=\sum^{\infty}_{i=2n+1,n\in N}{(-1)^n\frac{x^i}{i!}}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots

证明ex=e^x=\cdots比这更容易,根据定义(ex)=ex(e^x)'=e^x,重复上述过程即可。

麦克劳林展开式

ex=i=0xii!=1+x11!+x22!+x33!+x44!+e^x=\sum^\infty_{i=0}{\frac{x^i}{i!}}=1+\frac{x^1}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots
sin(x)=i=2n+1,nN(1)nxii!=xx33!+x55!x77!+\sin(x)=\sum^{\infty}_{i=2n+1,n\in N}{(-1)^n\frac{x^i}{i!}}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots
cos(x)=i=2n,nN(1)nxii!=1x22!+x44!x66!+\cos(x)=\sum^{\infty}_{i=2n,n\in N}(-1)^n\frac{x^i}{i!}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots

本文正题

eix=1+(ix)11!+(ix)22!+(ix)33!+(ix)44!+(ix)55!=1+ix1!x22!ix33!+x44!+ix55!e^{ix}=1+\frac{(ix)^1}{1!}+\frac{(ix)^2}{2!}+\frac{(ix)^3}{3!}+\frac{(ix)^4}{4!}+\frac{(ix)^5}{5!}=1+\frac{ix}{1!}-\frac{x^2}{2!}-\frac{ix^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{ix^5}{5!}-\cdots

把带有ii的提出来有:

eix=1x22!+x44!x66!++i(xx33!+x55!x77!)=cos(x)+i×sin(x)e^{ix}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots+i(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!})=cos(x)+i\times sin(x)

x=πx=\pi的时候

eiπ=cos(π)+i×sin(π)=1e^{i\pi}=\cos(\pi)+i\times \sin(\pi)=-1

所以eiπ+1=0e^{i\pi}+1=0